دليل دراسة الأسس: فلسفة الرياضيات

فلسفة الرياضيات هي الدراسة الفلسفية لمفاهيم وأساليب الرياضيات. يهتم بطبيعة الأرقام والأشياء الهندسية والمفاهيم الرياضية الأخرى. يهتم بأصولهم المعرفية وتطبيقها على الواقع. يتناول التحقق من صحة طرق الاستدلال الرياضي. على وجه الخصوص ، فإنه يتعامل مع المشاكل المنطقية المرتبطة اللانهائية الرياضية.

من بين العلوم ، للرياضيات علاقة فريدة بالفلسفة. منذ العصور القديمة ، حسد الفلاسفة ، كنموذج للكمال المنطقي ، بسبب وضوح مفاهيمه ويقين استنتاجاته ، وبالتالي كرسوا الكثير من الجهد لشرح طبيعة الرياضيات.

سيوصي دليل الدراسة هذا بالمصادر التي توفر مقدمة للقضايا الرئيسية في فلسفة الرياضيات ، ووجهات النظر المهمة تاريخيا حول هذه القضايا. بعض الإلمام بالرياضيات هو شرط أساسي للتفكير في هذه القضايا. كتاب ما هي الرياضيات؟، من تأليف ريتشارد كورانت وهربرت روبنز ، هو عرض رائع لموضوعات وأساليب الرياضيات الحديثة. الكتاب مخصص للأشخاص العاديين ، ولكن لم يتم حذف أي من جوهر الرياضيات. إنه ليس كتابا بسيطا ، لكنه مجز.

وجهات نظر تاريخية

قدم معظم الفلاسفة وجهات نظرهم حول الرياضيات في أعمال حول مواضيع أكثر عمومية. مختارات الفلسفة والرياضيات لروبرت باوم ، تحتوي على مختارات في الرياضيات من معظم الفلاسفة الغربيين الرئيسيين ، من أفلاطون إلى ميل. تتضمن الاختيارات مواد كافية لتوفير سياق لآراء كل فيلسوف حول الرياضيات ، وتتبع مقالات باوم التمهيدية التأثيرات الفلسفية على كل مفكر.

كانت وجهات النظر الأكثر تأثيرا هي آراء أفلاطون وكانط ، ولدى باوم قسم عن كل منهما. قد يرغب الموضوعيون المهتمون في استكمال قسم باوم عن أرسطو بإلقاء نظرة على كتاب توماس هيث ، الرياضيات في أرسطو. يحتوي كتاب باوم أيضا على بعض المقالات الحديثة ، والتي يستحق ماكس بلاك "مراوغة المجموعات" ، وهو نقد لنظرية المعرفة لمنظري المجموعات ، القراءة.

تحليل

تعد نظرية نيوتن في الميكانيكا ، واختراعه لحساب التفاضل والتكامل التكاملي لدعمه ، من بين أعظم الإنجازات في التاريخ. الفكرة المركزية للحد خفية منطقيا (هذه الدقة هي ما يجعل مفارقة أخيل زينو محيرة) ، وفشل نيوتن في التعامل مع الحدود بدقة. قام منتقدوه - وأبرزهم بيركلي - بالكثير من هذا الخلل. طور كوشي وويرستراس وغيرهم من علماء الرياضيات في القرن 19 نظرية صارمة للحدود ، والتي وفرت أساسا لا يمكن تعويضه لنظرية نيوتن وهي حجر الزاوية في التحليل الرياضي الحديث. يتم سرد قصة النجاح المعرفية هذه بشكل جيد في كارل بوير تاريخ حساب التفاضل والتكامل وتطوره المفاهيمي.

جوهرة منطقية أخرى تعد سمة مركزية للتحليل الرياضي الحديث هي فكرة وجود مشكلة جيدة الطرح ، والتي قدمها عالم الرياضيات جاك هادامار. عندما يتم اقتراح مشكلة رياضية جديدة ، فإن أول أمر عمل لعلماء الرياضيات هو إثبات أن المشكلة لها حل ، وأن لها حلا واحدا فقط ، وأن الحل يعتمد بطريقة معقولة على البيانات (على سبيل المثال ، إذا كانت المعادلة تربط الجهد بالإضاءة في المصباح الكهربائي ، فإن الزيادة الطفيفة في الجهد يجب أن تؤدي إلى زيادة طفيفة فقط في الإضاءة).

تسمى المشكلة التي لها هذه الخصائص "جيدة الطرح". عندما يثبت علماء الرياضيات أن مشكلة رياضية مطروحة بشكل جيد ، فإنهم يتأكدون من أنها سؤال معقول يجب طرحه قبل محاولة الإجابة عليه. ينصح الباحثون في العديد من المجالات الأخرى بتبني مثل هذه العادات المعرفية الدقيقة. لسوء الحظ ، لا توجد مقدمة فلسفية لهذا الموضوع.

قضايا حديثة

وجهة النظر الشائعة الحالية هي أن الرياضيات قد مرت بسلسلة من الأزمات المنطقية أو المعرفية التي ألحقت بها أضرارا جسيمة. للحصول على تاريخ هذه "الأزمات" (مثل اختراع الهندسة غير الإقليدية واكتشاف المفارقات النظرية للمجموعة) ، ومسح شامل للقضايا في الفلسفة الرياضية الحديثة ، انظر رياضيات موريس كلاين : فقدان اليقين. كان كلاين عالم رياضيات. يعكس هذا الكتاب بدقة نوع الموقف الذي يواجهه المرء بين الممارسين ، وهو موثق جيدا بالرياضيات ذات الصلة.

لتحديد ما إذا كانت هناك عيوب في أسس موضوع ما ، يجب على المرء أولا الإجابة على السؤال المعرفي الأساسي حول ما يشكل الأساس المناسب. إن الموقف الموضوعي القائل بأن كل المعرفة يجب أن ترتكز على الإدراك ، وأن يتم فهمها وتنظيمها من الناحية المفاهيمية ، لم يلعب أي دور تقريبا في التطور التاريخي لفلسفة الرياضيات. تتمثل المهمة الأساسية للنهج الموضوعي في تأريض الرياضيات بموضوعية. تتمثل إحدى المهام الثانوية المهمة في شرح كيف أدت الافتراضات المعرفية المسبقة الأخرى إلى الشعور بالأزمة والشك الذي ميز المجال.

فلسفة الرياضيات لستيفان كورنر ، مقال تمهيدي ، هو معالجة أقل تفصيلا تاريخيا ورياضيا من كلاين ، لكنه أكثر تعقيدا من الناحية الفلسفية. يخصص كورنر فصلين لكل منهما - أحدهما تفسيري والآخر نقدي - لكل من المدارس الفكرية الحديثة الرئيسية الثلاث حول الفلسفة الرياضية: الشكليون والمنطقيون والحدسيون. عرض كورنر واضح وموجز وغير متحيز.

المنطق

كان الغرض من مدرسة المنطق ، التي تضم شخصيات مركزية هي برتراند راسل وجوتلوب فريج ، هو "اختزال الرياضيات إلى منطق". مقدمة راسل في الفلسفة الرياضية هي مقدمة غير تقنية لبرنامج المنطق. يختلف المفهوم المنطقي للمنطق اختلافا جذريا عن المفهوم الموضوعي ، أو بشكل عام ، المفهوم الأرسطي للمنطق. وهي وجهة نظر منطقية مفترضة مسبقا في معظم الفلسفة الرياضية الحديثة. مقدمة راسل هي عرض واضح بشكل استثنائي لهذا المفهوم للمنطق وتطبيقه على الرياضيات. إنه ذو قيمة كدليل للمباني التي سيتعين على النهج الموضوعي لأسس الرياضيات تحديها.

تنتقد أعمال هنري فيتش ، ولا سيما المنطق المتعمد ، مفهوم راسل للمنطق من منظور أرسطو. يجادل فيتش من مبدأ تتفق معه الموضوعية - أن الوعي مقصود ، وأنه دائما من أو حول عالم موجود وله هوية مستقلة عن الوعي.

الشكليه

تأسست المدرسة الشكلية من قبل عالم الرياضيات ديفيد هيلبرت. يسعى الشكليون إلى التعبير عن الرياضيات كأنظمة منطقية رسمية بحتة ، ودراستها على هذا النحو ، دون الاهتمام بمعناها. (هذا على النقيض من المنطقيين ، الذين يسعون إلى تحديد معنى المفاهيم الرياضية من خلال تعريفها من حيث مفاهيم المنطق.) كان دافعهم الأساسي هو تبرير رياضيات المجموعات اللانهائية ، التي طورها جورج كانتور في أواخر القرن 19th. كان الشكليون يأملون في التعبير عن رياضيات المجموعات اللانهائية في مثل هذا النظام ، وإثبات اتساق هذا النظام بطرق محدودة. إذا نجحوا في ذلك ، كما اعتقدوا ، لكانوا قد برروا استخدام مجموعات لا نهائية دون الحاجة إلى معالجة السؤال الشائك حول ماهية هذه المجموعات.

تم شرح النهج الشكلي وتوضيحه في دليل جودل بواسطة إرنست ناجل وجيمس نيومان. هذا الكتاب القصير هو تحفة في جعل المواد المتطورة في متناول غير الخبراء. يبدأ الكتاب بعرض الشكليات ، ويختتم بمخطط مقروء للغاية لإثبات نظرية عدم اكتمال كورت جودل. أظهرت هذه النظرية ، وفقا لشروط الشكليين الخاصة ، أن برنامجهم لا يمكن الدفاع عنه.

الحدس

يشتهر الحدسيون ، الذين كان زعيمهم عالم الرياضيات L.E.J. Brouwer ، بمحافظتهم فيما يتعلق باللانهاية الرياضية. إنهم يعارضون تطبيق قانون الوسط المستبعد على البيانات التي تنطوي على اللانهائيات الرياضية ، كما هو الحال في الدليل الذي يأخذ الشكل التالي: إما أن يكون هناك رقم مع الخاصية P أو لا يوجد ؛ إذا لم يكن الأمر كذلك ، يتبع ذلك نتيجة معروفة بأنها خاطئة ؛ لذلك يوجد رقم مع الخاصية P. مثل هذه البراهين لا تخبرنا ما هو الرقم المعني ، أو لماذا يحتوي على العقار. على النقيض من ذلك ، توفر البراهين البناءة هذه المعلومات ، ويحتاج الحدسيون إلى براهين بناءة للنظريات الرياضية.

يجد الحدسيون جذورهم الفلسفية في كانط. ومع ذلك ، فإن حذرهم فيما يتعلق باللانهائي يجب أن يروق للموضوعيين. يمكن تفسير موقفهم من قانون الوسط المستبعد على أنه مطلب بتأسيس بيان على أنه ذو مغزى قبل تطبيق قوانين المنطق عليه ، وهو مطلب تؤيده الموضوعية بالتأكيد. قد ينظر إلى إصرارهم على البراهين البناءة كوسيلة لتحديد المقصود بوجود رقم.

لسوء الحظ ، فإن الحدسيين ليسوا دائما واضحين بشأن المعنى والأسس الفلسفية لمواقفهم. إنهم يهتمون بالتفاصيل الرياضية على حساب العرض الفلسفي. لا توجد مقدمة مثل راسل أو ناجل ونيومان. هناك العديد من القطع التي كتبها الحدسيون - بروير وهيتينغ ودوميت - في مجموعة فلسفة الرياضيات ، قراءات مختارة ، التي حررها بول بيناسيراف وهيلاري بوتنام. تحتوي مقدمة هذا المجلد أيضا على مناقشة واضحة للمبادئ الحدسية.

الموضوعية

الفهم الصحيح للتجريد هو شرط أساسي لشرح المفاهيم الرياضية. تميل النظريات التاريخية للمفاهيم الرياضية إلى تجسيد أسوأ جوانب النظريات التاريخية للعوالم. تهيمن الواقعية الأفلاطونية والمثالية الكانطية والاسمية المتطرفة على الموضوع.

إن تحديد آين راند لطبيعة الكون وتحليلها لعملية التجريد لهما الكثير للمساهمة في فلسفة الرياضيات. ومع ذلك ، لا توجد أدبيات موضوعية حول هذا الموضوع. ويرد إشارة إلى النهج الموضوعي للموضوع في مقال "الأساس المعرفي للحساب" بقلم ديفيد روس. ترد تعليقات آين راند حول مواضيع رياضية مختلفة في ملحق طبعة عام 1990 من مقدمة في نظرية المعرفة الموضوعية.

تعترف الموضوعية بوجود علاقة أعمق بين الرياضيات والفلسفة مما تخيله دعاة الفلسفات الأخرى. وفقا لنظرية آين راند ، تتضمن عملية تكوين المفهوم فهم العلاقات الكمية بين الوحدات وإغفال قياساتها المحددة. وبالتالي فإنه يضع الرياضيات في صميم المعرفة الإنسانية كعنصر حاسم في عملية التجريد. هذه وجهة نظر جذرية جديدة لدور الرياضيات في الفلسفة. كما قال ليونارد بيكوف في الموضوعية: فلسفة آين راند:

وبالتالي ، فإن المجال الذي يجب أن تعالجه الفلسفة الموضوعية للرياضيات هو معنى وهيكل القياس في نظرية إغفال القياس. يمكن تسمية هذا الحقل الفرعي لفلسفة الرياضيات برياضيات الفلسفة. للاطلاع على وجهة النظر الموضوعية، انظر مناقشات راند في مقدمة في نظرية المعرفة الموضوعية، وموضوعية بيكوف: فلسفة آين راند، و"نظرية التجريد" لديفيد كيلي.